Singularities of Trajectories of Algebraic and Analytic Vector Fields

    Le projet ANR «STAAVF» a débuté en janvier 2012, pour une durée de quatre ans. Il se situe à l'interface de la géométrie analytique et analytique réelles, les systèmes dynamiques et la o-minimalité.
   

Le projet:

Le but de ce projet est l'étude du comportement géométrique des trajectoires de champs de vecteurs, c'est à dire des solutions d'équations différentielles ordinaires à coefficients analytiques. Les équations différentielles ordinaires apparaissent dans divers domaines des sciences, et l'étude de leurs solutions à l'aide différentes méthodes et approches a fait l'objet d'un travail considérable. Lorsque l'équation est linéaire, elle peut être résolue explicitement à l'aide de méthodes analytiques.

Il est bien connu que les équations différentielles intéressantes sont principalement non linéaires, et, à de rares exceptions près, ne peuvent être résolues de façon exacte. Les solutions approchées obtenues par des méthodes numériques ne donnent pas une information satisfaisante sur le comportement qualitatif des vraies solutions, telles que la stabilité, les ensembles limites, les cycles limites, et la (non)-oscillation.

Les trajectoires de champs de vecteurs analytiques réels sont en général transcendantes. Cependant leur géométrie est souvent «modérée«, quoique la définition précise de «modération« recouvre exactement. La compréhension du comportement géométrique qualitatif des trajectoires de champs de vecteurs analytiques est le but principal de notre projet.

Nous souhaitons déterminer dans quels cas les solutions sont modérées, et donner un sens précis à la notion de modération dans chaque cas. Nous utiliserons pour cela une grande variété de méthode:théorie des singularités, résolutions des singularités, classification des germes de fonctions analytiques, stratifications et géométrie conormale, courbes de vallées et de crêtes, géométrie semi-algébrique et o-minimale, classes quasi-analytiques, intégrales (pseudo) abéliennes, séries formelles et analyse asymptotique, procédés de resommation et méthodes résurgentes. Dans ce projet nous combinerons les dernières avancées des ces diverses techniques. Par conséquent, le développement de ces méthodes constitue une importante partie de nos objectifs.