Master mention mathématiques et applications

Contenu des unités d'enseignements de la première année

Université de Haute Alsace, Mulhouse

 

PREMIER SEMESTRE

Géométrie différentielle 9 ECTS 36hC 54hTD

Sous variétés de R^n. Immersions et submersions. étude locale des surfaces de l’espace euclidien de dimension 3. Première et deuxième forme fondamentale. Courbures. Théorème de Gauss. Transport parallèle, Dérivée covariante des champs de vecteurs. Géodésiques. Variétés différentiables. Atlas, applications différentiables. Fibré tangent, application tangente. Champs de vecteurs, crochet de Lie. Trajectoires et Flots sur une variété. Théorème de Frobenius. Métriques riemaniennes, dérivées covariantes, géodésiques, application exponentielle. Variétés compactes de dimension 2.

Analyse fonctionnelle 9 ECTS 36hC 54hTD

Espace de Hilbert. Projection sur un convexe fermé, sur un sous-espace fermé. Dual d’un espace de Hilbert.Adjoint et inverse d’un opérateur dans un espace de Hilbert. Espaces l^2(N), L^2(U). Bases hilbertiennes (cas séparable). Exemples : Polynômes orthogonaux. Convergence faible. Transformée de Fourier. Formule d’inversion. Transformée d’un produit de convolution. Théorème de Plancherel. Espace de fonctions continues. Théorème de Stone Weierstrass. Théorème d’Ascoli. Complément de théorie de la mesure. Théorème de Riesz. Convolution des mesures sur R^n.

Distributions et équations aux dérivées partielles 9 ECTS 36hC 54hTD

Distribution. Ordre, support, dérivation, convergence.
Espaces de Sobolev. H^m, m entier. H_0^1.
Inégalités : Cauchy-Schwarz, Poincaré et Korn.
Formules de Green. Théorème de Rellich. Théorème de trace.
Formulation variationnelle des EDP. Théorème de Lax Milgram. Méthode des éléments finis pour des EDP elliptiques. Introduction au logiciel Freefem. Méthode des différences finies et/ou volumes finis pour les EDP paraboliques et hyperboliques. Notion de consistance, de stabilité et de convergence des schémas numériques.

 

DEUXIÈME SEMESTRE

Anneaux et modules 6 ECTS 24hC 36hTD

Généralités sur les anneaux. Anneaux principaux, euclidiens, noethériens et factoriels. Anneaux des polynômes à plusieurs variables.
Généralités sur les modules. Opérations sur les modules. Modules de type fini. Cas des anneaux principaux et noethériens.
Produit tensoriel de modules.

Algorithmique et arithmétique 3 ECTS 12hC 18hTD

Représentation et manipulation en machine des entiers de taille arbitraire. Nombres premiers et factorisation : définitions et théorèmes fondamentaux Nombres premiers et factorisation : Algorithmes de crible et de factorisation basiques PGCD et formule de Bezout. Algorithme d’Euclide, algorithme d’Euclide étendu. Liaison avec les fractions continues. Rappels sur les congruences. Algorithmes de calcul dans Zn : inverses, exponentiation efficace. Structure de l’anneau Zn et théorème chinois, algorithme de Garner. Théorème d’Euler Fermat, théorème de Carmichael. Structure de Zn quand n est premier. Racines primitives. Test de primalité de Fermat et de Rabin-Miller. Applications aux systèmes cryptographiques asymétriques. Présentation des systèmes RSA et El-Gamal. Protocole de négociation de clés de Diffie-Hellman. Etudes de quelques attaques sur le système RSA (petit exposant public, petit exposant privé,…). Rappels sur les corps finis, implémentation des corps finis de caractéristique 2. Une application de corps finis : Un système cryptographique symétrique : l’AES.

Mathématiques assistées par ordinateur 3 ECTS 12hC 18hTD

Rappels sur Mathematica et la programmation.
Courbes de Beziers, localisation des racines d’un polynôme. Éléments de robotique.
Anneaux des polynômes. Bases de Groebner. Théorie de l’élimination et résultant. Variétés algébriques affines et Idéaux. Toutes les séances de travaux dirigés de calcul formel se déroulent en salle machine.

Équations différentielles 6 ECTS 24hC 36hTD

Résultats fondamentaux. Démonstrations des théorèmes d'existence et d'unicité de Cauchy-Lipschitz, solutions maximales. Dépendance continue par rapport aux paramètres et aux conditions initiales. Equations d'ordre supérieur. Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants et variables. Linéarisation. Equation aux variations et différentiabilité par rapport aux paramètres et aux condition initiales. Flot. Théorie de la Stabilité. Définition et critère spectral. Fonction de Lyapounov et théorème de La Salle.
Calcul des variations. Mécanique classique.

Probabilités 3 ECTS 12hC 18hTD

Indépendance de tribus et de variables aléatoires. Convolution de lois. Convergence des variables aléatoires. Loi forte des grands nombres. Transformée de Fourier des mesures et des probabilités. Théorème de Levy. Théorème de la limite centrale.
Introduction à la théorie des tests statistiques.

Résolutions de problèmes aux limites 3 ECTS 12hC 18hTD

Utilisation du logiciel FreeFem++ . Résolution numérique de l’équation de la chaleur stationnaire. Présentation d’un problème d’élasticité linéaire d'évolution. Formulation variationnelle, résolution numérique.
Décomposition modale d'un problème d'évolution.
Introduction à la mécanique des fluides.

Système et Réseaux 3 ECTS 12hC 18hTD

Introduction aux réseaux - concepts de base : modèle OSI, supports de transmission, protocoles, hub, switches, … - réseaux locaux (Ethernet) - réseaux longue distance - adresses IP et leur gestion, noms de domaines Systèmes d’exploitations - structures de fichiers et implémentations - commandes shell (shell scripts) - notion de process et leur gestion - gestion de la mémoire et des disques administration d’un système.

Théorie des corps 3 ECTS 12hC 18hTD

Extensions de degré finie, éléments algébriques. Corps de décomposition. Unicité. Corps finis, applications à la théorie des codes. Groupe de galois. Extensions normales séparables. Théorème de Galois.